James dan James (1976) dalam kamus matematikanya mengatakan matematika itu adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan lainnya dengan jumlah yang banyak. Kline (1973), mengatakan bahwa matematika itu bukan pengetahuan yang menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri. Untuk itu keberadaannya dapat membantu manusia dalam memahami dari mengetahui permasalahan sosial, ekonomi dan alam.Johnson dan Rising (1972), menyatakan bahwa matematika adalah bahasa, bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat,reperensinya dengan symbol dan padat, lebih berupa pada bahasa symbol mengenai ide daripada
mengenai bunyi.
Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasikan, sifat-sifat atau teori-teori itu dianut secara deduktif berdasarkan kepada unsur-unsur yang didefinisikan atau tidak,aksioma-aksioma, sifat-sifat atau teori-teori yang telah dibuktikan kebenarannya. Matematika adalah ilmu tentang pola, keteraturan pola atau ide. matematika adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.
Berdasarkan uraian diatas, dapat kita simpulkan bahwa matematika itu merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan kepada pembuktian secara deduktif. Matematika itu disebut ratunya ilmu (Mathematics is the Queen of  the Science) artinya bahwa matematika adalah bahasa yang tidak tergantung pada bidang studi lain yang menggunakan symbol dan istilah yang cermat yang disepakati secara universal sehingga mudah dipahami.
Matematika merupakan ilmu yang harus dipelajari karena matematika harus disampaikan disetiap jenjang pendidikan dan ilmu yang dapat menunjang terhadap ilmu lainnya.

B.    Pemahaman
Pemahaman mempunyai beberapa tingkatan kedalam arti yang berbeda. Menurut Driver (dalam Gusni, 2006 : 18) pemahaman adalah kemampuan untuk menjelaskan suatu situasi atau suatu tindakan. Menurut Usman dan Setiawati (Mahpudin, 2005 : 14) mengemukakan bahwa “Pemahaman didefinisikan sebagai kemampuan untuk menyerap arti dari materi atau bahan ajar yang dipelajari”. Bloom (Russeffendi 2006 : 221) mengemukakan tiga macam pemahaman, yaitu :
  1. Pengubahan (Translation) yaitu pemahaman yang berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menterjemahkan kalimat dalam soal menjadi bentuk kalimat lain, misalnya menyebutkan variabel-variabel yang diketahui dan ditanyakan.
  2. Pemberian arti (Interpretasi) yaitu pemahaman yang berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menentukan konsep-konsep yang tepat untuk digunakan dalam menyelesaikan soal.
  3. Pembuatan ekstrapolasi (Extrapolation) yaitu pemahaman yang berkaitan dengan kemampuan siswa menerapkan konsep dalam perhitungan matematis untuk menyelesaikan soal.
Menurut Michener (Hepsi, 2004 : 14) untuk memahami suatu objek secara mendalam seseorang harus mengetahui :
  1. Objek itu sendiri
  2. Relasinya dalam objek lain yang sejenis
  3. Relasinya dengan objek lain yang tidak sejenis
  4. Relasi dual dengan objek lainnya yang sejenis
  5. Relasinya dengan objek dalam teori lainnya.
Pemahaman ini mengacu kepada kemampuan memahami makna materi. Menurut Polya (Mahpudin, 2003: 12) membedakan pemahaman kedalam empat jenis sebagai berikut :
  1. Pemahaman mekanik adalah pemahaman yang dapat mengingat dan dapat menerapkan sesuatu secara rutin atau perhitungan sederhana.
  2. Pemahaman Induktif  adalah pemahaman yang dapat mencobakan sesuatu dalam kasus sederhana dan tahu bahwa sesuatu itu berlaku dalam kasus serupa.
  3. Pemahaman Rasional adalah Pemahaman yang dapat membuktikan kebenaran sesuatu.
  4. Pemahaman Intuitif adalah pemahaman yang dapat memperkirakan kebenaran sesuatu sebelum menganalisis secara analitik.
Pemahaman sebagai proses yang terdiri dari 4 tahapan kemampuan :
  1. Pemahaman merupakan kemampuan untuk menerangkan dan menginterprestasi sesuatu.
  2. Pemahaman bukan sekedar mengetahui yang biasanya hanya terbatas kepada mengingat kembali pengalaman atau memproduksi apa yang pernah dipelajari.
  3. Pemahaman lebih dari sekedar mengetahui karena pemahaman melibatkan proses mental dinamis.
  4. Pemahaman merupakan suatu proses bertahap yang masing-masing tahap mempunyai kemampuan tersendiri seperti menerjemahkan, menginterpretasikan, aplikasi,analisis,sintesis,dan evaluasi.
Klasifikasi pemahaman dalam penelitian ini menggunakan klasifikasi hasil belajar dengan skor kurang dari 50 % termasuk kategori kurang, kategori cukup untuk kriteria skor 50 % sampai 64 % dan kategori baik untuk kriteria skor 65 % atau lebih dari skor ideal.

C.    Pembelajaran
Belajar adalah suatu proses yang ditandai dengan adanya perubahan pada diri seseorang sebagai hasil dari pengalaman dan latihan. Perubahan sebagai hasil dari belajar dapat ditimbulkan dalam berbagai bentuk, seperti berubahnya pengetahuan, pemahaman, sikap dan tingkah laku, kecakapan serta kemampuan.

Kategori dalam belajar membagi menjadi empat pilar diantaranya : (1) belajar bagaimana belajar, (2) belajar berbuat (learning to do), (3) belajar hidup bersama secara harmonis (learning to life together) (4) belajar mengaktualisasikan diri (learning to be). Dalam suatu pembelajaran kata “belajar” tidak bisa lepas dengan kata “mengajar” yang mengatur dan mengorganisasikan lingkungan yang ada di sekitar siswa. Karena, dalam kegiatan belajar mengajar, anak adalah sebagai subjek dan sebagai objek dari kegiatan pengajaran. Karena itu, inti proses pengajaran tidak lain adalah kegiatan belajar anak didik dalam mencapai suatu tujuan pengajaran, yaitu untuk membentuk anak didik dalam suatu perkembangan tertentu. Inilah yang dimaksud kegiatan belajar mengajar sadar akan tujuan, dengan menempatkan anak sebagai pusat perhatian. (Syaiful dan aswan, 1994: 46).

Proses pembelajaran matematika, pada dasarnya bukanlah sekedar transfer gagasan dari guru kepada siswa, melainkan siswa harus dibangun untuk memperoleh suatu cara yang kuat dalam memandang masalah sehingga siswa aktif dalam proses pembelajaran.

Menurut Russefendi (sri, 2006: 8) mengemukakan : Suatu kelompok siswa dikatakan belajar secara aktif bila dalam kegiatan belajarnya ada mobilitas, misalnya tampak dari interaksi yang terjadi antara guru dengan siswa dan antara siswa dengan siswa; komunikasi yang terjadi tidak hanya satu arah dari guru ke siswa tapi dari banyak arah.

Menurut Weirtheimer (Sri, 2006: 8) “ Pembelajaran seperti penerapan rumus cenderung menghilangkan kemampuan manusia dalam melihat struktur masalah secara utuh, padahal pemahaman akan struktur masalah merupakan pemikiran yang yang produktif. ”

Dengan hal tersebut, pemahaman merupakan kemampuan yang harus dibangun dalam diri siswa terutama dalam meningkatkan pemahaman dalam pembelajaran matematika. Untuk itu, dengan pemahaman ini dititik tolakan pada pembentukan masalah yang menuju sikap belajar.

Matematika pada dasarnya adalah pemecahan masalah karena itu, matematika sebaiknya diajarkan melalui berbagai masalah yang ada disekitar siswa dengan memperhatikan usia dan pengalaman yang mungkin dimiliki siswa. Dengan demikian peningkatan kemampuan pemahaman dapat diterapkan dalam pembelajaran matematik melalui pemecahan masalah.

D.    Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah terjemahan dari “Problem Solving”. Pemecahan masalah adalah suatu proses mental dan intelektual dalam menemukan suatu masalah dan memecahkannya berdasarkan data dan informasi yang akurat, sehingga dapat diambil kesimpulan yang tepat dan cermat. (Oemar Hamalik, 1994: 152)

Sebelum dapat mengerti apa yang dimaksud dengan pemecahan masalah, kita harus memahami dahulu kata masalah. Masalah dalam matematika adalah sesuatu persoalan yang ia sendiri mampu menyelesaikan tanpa menggunakan cara algoritma yang rutin. dan masalah pula dapat didefinisikan sebagai suatu keadaan yang tidak sesuai dengan harapan yang kita inginkan, kemampuan untuk melakukan pemecahan masalah adalah ketrampilan yang dibutuhkan oleh hampir semua orang dalam setiap aspek kehidupannya. Jarang sekali seseorang tidak menghadapi masalah dalam kehidupannya sehari-hari dan suatu persoalan itu menjadi masalah bagi seseorang, pertama bila persoalan itu tidak dikenalnyam, maksudnya ialah siswa belum memiliki prosedur atau algoritma tertentu untuk menyelesaikannya. Kedua, siswa harus mampu menyelesaikannya, baik kesiapan mentalnya ataupun pengetahuan siapnya terlepas dari pada apakah akhirnya ia sampai atau tidak kepada jawabannya. Ketiga, sesuatu itu merupakan pemecahan masalah baginya, bila ia ada kemauan menyelesaikannya.

Seseorang akan melakukan atau menggunakan proses pemecahan masalah apabila seseorang tersebut menginginkan suatu tujuan tertentu, sementara tujuan itu tidak dijumpai atau harus dicari pada saat itu. Pemecahan masalah paling sedikit melibatkan proses berpikir dan seringkali harus dilakukan dengan penuh usaha. dalam pembelajaran matematika, masalah-masalah yang sering dihadapi siswa berupa soal-soal atau tugas-tugas yang harus diselesaikan siswa. Pemecahan masalah dalam hal ini adalah aturan atau urutan yang dilakukan siswa untuk memecahkan soal-soal atau tugas-tugas yang diberikan kepadanya. untuk memperoleh kemampuan dalam pemecahan masalah, siswa diharapkan memahami proses menyesaikan masalah tersebut dan menjadi terampil dalam memilih dan mengidentifikasi kondisi dan konsep yang relevan, mencari generalisasi, merumuskan rencana penyelesaian dan mengorganisasikan yang telah dimiliki sebelumnya. untuk menyelesaikan masalah ini ada beberapa prosedur, sebagai berikut :
  1. Menyajikan masalah dalam bentuk yang lebih jelas.
  2. Menyatakan lagi masalahnya dalam bentuk operasional (merumuskan    masalah).
  3. Menyusun hipotesis-hipotesis alternatif dan prosedur kerja yang diperkirakan baik untuk dipergunakan dalam memecahkan masalah itu.
  4. Melaksanakan prosedur pemecahan.
  5. Memeriksa hasil pemecahan apakah hasil yang diperoleh itu benar, mungkin pula memilih pemecahan yang paling baik.
Menurut polya (Mayasari, 2007 : 10-11) mengemukakan bahwa di dalam matematika terdapat dua macam masalah, yaitu masalah untuk menemukan dan masalah untuk membuktikan. Selanjutnya polya mengemukakan bahwa kegiatan-kegiatan yang diklasifikasikan sebagai pemecahan masalah di dalam matematika seperti :
  1. Penyelesaian soal cerita dalam buku teks
  2. Penyelesaian soal-soal non rutin atau memecahkan teka-teki
  3. Penerapan matematika dalam dunia nyata
  4. Menciptakan dan meguji konjengtur matematika.
Lebih lanjut polya mengemukakan bahwa 4 langkah yang dapat ditempuh dalam pemecahan masalah, yaitu :
1.    Memahami masalah
Langkah ini penting dilakukan sebagai tahap awal dari pemecahan masalah agar siswa dengan mudah mencari penyelesaian suatu masalah yang diajukan siswa diharapkan dapat memahami kondisi soal atau masalah meliputi : mengenali soal, menganalisis soal dan menterjemahkan informasi yang diketahui dan ditanyakan pada soal tersebut. Menurut Polya (dalam Didin, 2006 : 12-14) pada soal yang perlu diperhatikan siswa dalam memahami masalah antara lain : Apakah yang tidak diketahui atau yang ditanyakan, data yang diberikan, bagaimana kondisi soal dan buatlah gambar atau notasi yang sesuai.
2.    Membuat rencana pemecahan
Masalah perencanaan ini penting dilakukan karena pada saat siswa mampu membuat suatu hubungan dari data yang diketahui dan tidak diketahui maka siswa dapat menyelesaikannya dari pengetahuan yang diperoleh sebelumnya, pada tahap ini diharapkan dapat menggunakan persamaan atau aturan membuat rencana penyelesaian diantaranya : Pernahkah anda menemukan soal seperti ini sebelumnya, perhatikan apa yang ditanyakan, jika soal serupa, dapatkah pengalaman yang lama digunakan dalam masalah sekarang, andaikan soal yang baru belum dapat diselesaikan, coba pikirkan soal serupa untuk menyelesaikan soal baru.
3.    Melakukan perhitungan
    Langkah perhitungan ini siswa dapat terlihat paham atau tidak pahamnya terhadap masalah, disamping itu dapat melihat apakah siswa dapat menilai penyelesaian yang dibuatnya sudah benar atau belum, pada tahap ini siswa telah siap melakukan perhitungan dengan segala macam yang diperlukan termasuk rumus yang sesuai. Siswa harus dapat membentuk sistematika yang lebih baku dalam arti rumus-rumus yang digunakan merupakan rumus yang siap digunakan sesuai dengan apa yang ditanyakan soal sehingga dapat sesuai dengan rencana pemecahannya. Hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan perhitungan diantaranya : Melaksanakan rencana pemecahan, Periksalah setiap langkah, apakah perhitungannya sudah benar, apakah siswa dapat membuktikan bahwa langkah yang dipilih sudah benar .
4.    Memeriksa kembali hasil yang telah diperoleh. 
    Meneliti atau menelaah kembali setiap tahap yang telah dilakukan, dengan demikian kesalahan dan kekeliruan dalam penyelesaian soal dapat dihindari dan ditemukan sebelumnya. Hal ini perlu diperhatikan dalam memeriksa kembali hasil yang telah diperoleh, diantaranya : apakah siswa dapat memeriksa hasilnya, apakah siswa dapat memeriksa alasannya, apakah siswa dapat memperoleh hasil yang berbeda, apakah siswa dapat menggunakan hasil atau metode untuk masalah yang lainnya.
    Perbedaan waktu yang diperlukan untuk memecahkan masalah bergantung pada perbedaan individual yakni :
  • Banyaknya aturan-aturan yang dikuasai
  • Kecepatan untuk mengingat kembali aturan-aturan itu
  • Kecepatan atau kelancaran pelajar memikirkan hipotesis (kreativitas)
  • Ketajaman membedakan konsep-konsep,
  • Memandang masalah itu sebagai suatu hal dalam kategori yang lebih umum dan dengan demikian membuktikan kebenaran jawabannya. (Nasution: 172).
Pemecahan masalah merupakan kemampuan dasar yang harus dikuasai oleh siswa, bahkan dalam konsep kurikulum yang sudah diberlakukan. Tuntutan akan kemampuan pemecahan masalah dipertegas secara eksplisit dalam kurikulum tersebut yaitu sebagai kompetensi dasar yang harus dikembangkan dan diintegrasikan pada sejumlah materi yang sesuai.
Pandangan pemecahan masalah sebagai proses inti dan utama dalam kurikulum matematika, berarti dalam pembelajaran pemecahan masalah lebih mengutamakan proses dan strategi yang dilakukan siswa dalam menyelesaikannya daripada hanya sekedar hasil, sehingga keterampilan proses dan strategi dalam memecahkan masalah tersebut menjadi dasar dalam belajar matematika. Walaupun kemampuan pemecahan masalah merupakan kemampuan yang tidak mudah dicapai, akan tetapi kepentingan dan kegunaannya maka kemampuan pemecahan masalah ini hendaknya diajarkan kepada siswa pada semua angkatan.

E.    Pembelajaran Melalui Pendekatan Pemecahan Masalah
Mengahadapi sejumlah pembelajaran, berbagai pesan yang terkandung dalam bahan ajar meningkatkan kemampuan pembelajar dan proses memperoleh pengalaman. Maka setiap guru memerlukan pengetahuan tentang pendekatan pembelajaran. Suatu prasyarat teknis untuk dapat mempelajarkan adalah bahwa seorang pembelajar (guru) sudah pernah bertindak belajar itu sendiri.

Proses pembelajaran melalui pendekatan pemecahan masalah di dalam kelas harus mengutamakan pada pamahaman siswa dengan cara memperkaya, memperdalam, dan memperluas siswa dalam pemecahan masalah. Karena pendekatan pemecahan masalah dalam menyelesaikan soal-soal matematika dapat melatih kemampuan siswa. Pendekatan pemecahan masalah tidak dirancang untuk membantu guru memberikan informasi sebanyak-banyaknya kepada siswa. Peran guru dalam pembelajaran ini hanya sebagai fasilitator artinya guru hanya memberikan pengarahan dan bimbingan kepada siswa.

Soal atau persoalan bagi anak yang satu merupakan pemecahan masalah sedangkan bagi yang lain tidak, maka menjadi tugas guru untuk menyeleksi atau membuat soal-soal yang merupakan soal pemecahan masalah.
Pemecahan masalah dalam pembelajaran matematika merupakan inti dalam pembelajaran matematika khususnya dalam memotivasi siswa. Sebagai mana dikemukakan oleh Mayer (dalam Edi, 2005). Bahwa National Council of Teacher of mathematics telah merekomendasikan bahwa pemecahan masalah merupakan fokus dari pelajaran matematika disekolah. Sedangakan Muncarno (dalam Edi, 2005). Menyatakan pembelajaran matematika yang dilaksanakan dengan langkah-langakah pemecahan masalah kepada siswa cenderung dapat memotivasi siswa dalam belajar. hal ini diperkuat oleh Russefendi (1980: 222). 
Mengemukakan bahwa salah satu sebab siswa perlu dilatih menyelesaikan persoalan yang berupa pemecahan masalah adalah agar dapat menimbulkan keingin tahuan dan adanya motivasi serta menumbuhkan sifat kreatif.
pembelajaran pemecahan masalah akan menjadi hal yang sangat menentukan juga keberhasilan pendidikan matematika, sehingga pengintegrasian pemecahan masalah selama proses pembelajaran berlangsung hendaknya menjadi suatu keharusan. Siswa tidak akan tertarik untuk belajar memecahkan masalah jika ia tidak tertantang untuk mengerjakannya. Hal ini menunjukan pentingnya tantangan serta konteks yang ada pada suatu masalah untuk memotivasi para siswa. Para siswa akan berusaha dengan sekuat tenaga untuk memecahkan suatu masalah yang diberikan gurunya jika mereka menerima tantangan yang ada pada masalah tersebut.
Pembelajaran pemecahan masalah atau belajar memecahkan masalah dijelaskan Cooney et al (dalam Fadjar) sebagai berikut : … the action by which a teacher encourages students to accept a challenging question and guides them in their resolution”. Hal ini menunjukan bahwa pembelajaran pemecahan masalah adalah suatu tindakan (action) yang dilakukan guru agar para siswanya termotivasi untuk menerima tantangan yang ada pada pertanyaan (soal) dan mengarahkan para siswa dalam proses pemecahannya.

Menggunakan pendekatan pembelajaran matematik, masalah dapat diberikan di awal kegiatan sebagai tantangan bagi para siswa. Dengan masalah ini, para siswa diberi kesempatan untuk mengeksplorasi atau menyelidiki, tentunya dengan pertanyaan-pertanyaan dari guru atau pertanyaan-pertanyaan yang muncul dari para siswa sendiri dalam bentuk pemecahan masalah, sehingga teorema, rumus, dalil, pengertian maupun konsep baru dapat dimunculkan dari masalah yang dikemukakan pada awal kegiatan ini. Dengan cara ini, para siswa dilatih dan dibiasakan untuk belajar memecahkan masalah selama proses pembelajaran di kelas sedang berlangsung sedemikian sehingga pemahaman suatu konsep atau pengetahuan haruslah dibangun sendiri (dikontruksi) oleh siswa (pembelajar).